[ocram]

Quello che dici e' corretto
Quello che tu chiami ombrellino, potrebbe essere in effetti una valvola di sfioro o sovrapressione, che servirebbe appunto a mantenere costante la pressione nel circuito
In pratica , essendo una pompa centrifuga e non volumetrica , non può mai spingere ad una pressione superiore a quella per cui e' stata calcolata, però se il consumo di carburante fosse bassissimo, la pompa continuando a girare fornirebbe energia cinetica alla benzina presente al suo interno , con conseguente riscaldamento del carburante e vaporizzazione dello stesso , la pompa entrerebbe in cavitazione.
Smaltendo una piccola parte del pompato, questo non succede in quanto all'interno del corpo pompa ci sarebbe sempre liquido fresco e mai vapori.
Se colleghi la pompa direttamente all'alimentazione questa deve girare finche' non togli tensione.
Essendo un motore in continua ha sicuramente le spazzole , che potrebbero non fare il loro lavoro, oppure un contatto che vi porta tensione potrebbe essere ossidato ecc ..
Io farei un tentativo per capire se la girante non sia bloccata,non ho mai aperto la pompa benzina di una moto, ma potrebbe essere una cosa possibile anche se improbabile vista la presenza del filtro.
Comunque dato il costo del motorino, ti conviene cambiarlo e probabilmente risolvi cosi

PS riesci a fare una foto di dettaglio del motorino, della pompa e del filtro ?